Question

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面SDC⊥底面ABCD，AD=

2

，DC=SD=2，SC=2

2

，点M是侧棱SC的中点．（Ⅰ）求证：SD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角C-AM-B的大小．（Ⅲ）在线段BC求一点N，使点N到平面AMB的距离为

1

2

．

Answer 1

分析：（I）由已知中DC=SD=2，SC=2

2

，由勾股定理得SD⊥DC，结合已知中平面SDC⊥底面ABCD，及面面垂直的性质定理可得SD⊥平面ABCD
（II）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，求出平面CAM的一个法向量和平面AMB的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C-AM-B的大小．
（Ⅲ）设N（m，2，0），（m＞0），根据点到平面距离公式d=

| n2 • AN |

| n2 |

，构造关于m的方程，解方程求出m的值，即可得到N点位置．

解答：
证明：（Ⅰ）因为DC=SD=2，SC=2

2

，
由勾股定理的逆定理知，SD⊥DC，
又平面SDC⊥底面ABCD于DC，SD?平面SDC，
所以，SD⊥平面ABCD．…（3分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，SD⊥DC，SD⊥AD，又AD⊥DC，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．…（4分）
于是，A(

2

，0，0)，C（0，2，0），S（0，0，2），M（0，1，1），

AM

=(-

2

，1，1)，

AC

=(-

2

，2，0)，
设

n1

=(x，y，z)为平面CAM的一个法向量，
则

- 2 x+y+z=0 - 2 x+2y=0

，得

n1

=(

2

，1，1)…（6分）
又

AB

=(0，2，0)，设

n2

=(x，y，z)为平面AMB的一个法向量，
则

y=0 - 2 x+y+z=0

，得

n2

=(1，0，

2

)…（8分）
因为cos＜

n1

，

n2

＞=

2 + 2

2× 3

=

6

3

，所以二面角C-AM-B为arccos

6

3

…（9分）
（Ⅲ）设N（m，2，0），（m＞0），则

AN

=(m-

2

，2，0)，由公式d=

| n2 • AN |

| n2 |

，得m=

2

-

3

2

，
所以所求点N为线段BC的中点N(

2

-

3

2

，2，0)…（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，点到平面间的距离计算，其中建立适当的空间坐标系，将二面角问题及点到直线距离问题，转化为向量问题是解答本题的关键．