Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SA⊥平面ABCD，AB=2，AD=1，SB=

7

，∠BAD=120°，E在棱SD上，且SE=3ED．
（I）求证：SD⊥平面AEC；
（II）求直线AD与平面SCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由题意易知CA⊥AD，通过所给条件证明SD⊥AC即有线线垂直得到线面垂直．也可利用空间向量求直线与平面的夹角为90°．
（2）几何法求直线与平面的夹角重点是找垂线作出线面角，用空间向量求直线与平面的夹角的重点是以A为坐标原点AC、AD、SA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求法向量n=(1，

3

，1)

解答：解：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，由AD=1，CD=2，∠BAD=120°，
易知CA⊥AD，
又SA⊥平面ABCD
SD在平面ABCD上的射影为AD，∴SD⊥AC，
在直角三角形SAB中，易得SA=

3

，
在直角三角形SAD中，∠ADE=60°，SD=2，
又SE=3ED，∴DE=

1

2

，
可得AE=

AD2+DE2-2AD•DEcos600

=

1+ 1 4 -2× 1 2 × 1 2

=

3

2

．
∴SD⊥AE，
又∵AC∩AE=A，∴SD⊥平面AEC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，SD⊥平面AEC，所以平面AEC⊥平面SCD，
过A作AF⊥EC于F，则AF⊥平面SCD．
可得∠ADF为直线AD与平面SCD所成的角．
因为AC=

3

，AE=

3

2

，所以CE=

3+ 3 4

=

15

2

，
所以AF=

AC×AE

CE

=

15

5

在Rt△ADF中，sin∠ADF=

AF

AD

=

15

5

，
直线AD与平面SCD所成角的大小为arcsin

15

5

．
解法二：依题意易知CA⊥AD，SA⊥平面ACD．以A为坐标原点，AC、AD、SA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则易得A(0，0，0)，C(

3

，0，0)，D(0，1，0)，S(0，0，

3

)，
（Ⅰ）由SE：ED=3有E(0，

3

4

，

3

4

)，
易得

SD • AC =0 SD • AE =0

，从而SD⊥平面ACE
（Ⅱ）设平面SCD的法向量为n=（x，y，z）
则

n• DC = 3 x-y=0 n• SD =y- 3 z=0.

，令z=1，得n=(1，

3

，1)
从而cos＜

AD

，n＞=

AD •n

| AD ||n|

=

0•1+ 3 •1+ 3 2 •1

1• 5

=

15

5

所以AD与平面SCD所成角大小为arcsin

15

5

．

点评：通过对空间几何图形的探究，使学生会恰当地建立空间直角坐标系；通过空间向量的坐标表示法的学习，使学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程，从而提高分析问题、解决问题的能力．