Question

（本小题12分）已知函数f(x)的定义域为（-2，2），f(x)≠0,且对任意实数a, b∈(-2,2)均满足f(a+b)+f(a-b)=2f(a)·f(b)。

（1）求f(0)的值。

（2）判断f(x)的奇偶性并说明理由。

（3）当x∈(-2,0]时，f(x)为增函数，若f(1-m)＜f(m)成立，求m的取值范围。

Answer 1

解：（1）由题意知，当a=b=0时，f(0)+f(0)=2f²(0)

            而f(0)≠0,   ∴f(0)=1

        （2）令a=0,b=x∈(-2, 2)，则f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x)

            ∴f(-x)=f(x)  ∴f(x)为偶函数

        （3）函数f(x)在（-2，2）上是偶函数

             则由f(1-m)＜f(m)得f(|1-m|)＜f(|m|)

                |1-m|＞|m|

 ∴   |1-m|＜2     即-1＜m＜

      |m|＜2