Question

（1）sin210°+cos240°+sin10°•cos40°=

3

4

；
（2）sin26°+cos236°+sin6°•cos36°=

3

4

；
（3）sin222°+cos252°+sin22°•cos52°=

3

4

．
（4）sin215°+cos245°+sin15°•cos45°=

3

4

．
由上面各题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想？

Answer 1

分析：考察四个等式，每个等式中两个角的关系都大角与小角的差是30°，由它们的形式可以猜想sin2α+cos2(30°+α)+sinα•cos(30°+α)=

3

4

，再由三角函数的公式证明结论即可．

解答：解：考察四个等式发现，每个等式中两个角的关系都大角与小角的差是30°
由此猜想sin2α+cos2(30°+α)+sinα•cos(30°+α)=

3

4

，证明如下：

sin2α+cos2(30°+α)+sinα•cos(30°+α) =sin2α+( 3 2 cosα- 1 2 sinα)2+sinα•( 3 2 cosα- 1 2 sinα) =sin2α+ 1 4 sin2α- 1 2 sin2α+ 3 4 cos2α- 3 2 sinαcosα+ 3 2 sinαcosα = 3 4 (sin2α+cos2α) = 3 4

故有sin2α+cos2(30°+α)+sinα•cos(30°+α)=

3

4

点评：本题考查归纳推理及三角恒等变换，解题的关键是归纳出四个方程的共性，从而猜想出结论，再由三角函数的相关公式给出证明，本题有一定的探究性，属于中档题，考查了分析归纳的能力