Question

在平面直角坐标系中，已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线有一个公共的焦点，且过点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于、两点,若(为坐标原点),试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ) 直线与圆相切

试题分析：(Ⅰ) 由题意得 ，又，结合,可解得的值,从而得椭圆的标准方程.(Ⅱ)设,则,当直线与轴垂直时,由椭圆的对称性易求两点的坐标,并判断直线与圆是否相切.当直线的不与轴垂直时,可设其方程为
,与椭圆方程联立方程组消法得: ，
  ,结合,可得与的关系,由此可以判断与该直线与圆的位置关系.
试题解析：解(Ⅰ)由已知得,由题意得 ，又，              2分
消去可得，，解得或（舍去），则，
所以椭圆的方程为．                          4分
(Ⅱ)结论：直线与圆相切.
证明:由题意可知,直线不过坐标原点,设的坐标分别为 
(ⅰ)当直线轴时,直线的方程为且 
则 
    
解得，故直线的方程为 ，
因此,点到直线的距离为，又圆的圆心为,
半径 所以直线与圆相切  7分
(ⅱ)当直线不垂直于轴时,
设直线的方程为，联立直线和椭圆方程消去得；
得 ，
 
 
  ，故，
即①                           10分
又圆的圆心为,半径，
圆心到直线的距离为，
② 将①式带入②式得：，
所以 因此,直线与圆相切                 13分