题目内容
已知函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（
）=
+
．（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小值；
（Ⅱ）若α-β≠kπ，k∈Z且α，β是方程f（x）=0的两个根，求证：sin（α+β）=cos（α+β）．
【答案】分析：（I）根据二倍角公式化简函数f（x）=acos2x+
sin2x+a，然后将x=0，x=
代入求出a，b的值，进而由余弦函数的特点求出最小值．
（II）根据方程的根可得出sin（2α+
）=sin（2β+
），然后由三角函数的特点可知2α+
=2kπ+π-（2β+
）进而得出α+β=kπ+
，即可知tan（α+β）=1，从而证明结论．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=acos2x+
sin2x+a
由f（0）=2 f（
）=
+
得
解得a=1 b=2
所以f（x）=cos2x+sin2x+1=
sin（2x+
）+1
所以f（x）min=1-
，此时x=kπ+
，k∈Z
（Ⅱ）α，β是方程
cos（2x-
）+1=0的两个根
∴
sin（2α
）+1=
sin（2β+
）+1即sin（2α+
）=sin（2β+
）
∴2α+
=2kπ+2β+
①或2α+
=2kπ+π-（2β+
）②
α-β≠kπ，
∴①舍去，由②得
α+β=kπ+
∴tan（α+β）=tan（kπ+
）=1
∴
即sin（α+β）=cos（α+β）．
点评：此题考查了二倍角公式和两角和与差公式，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题．
sin2x+a，然后将x=0，x=代入求出a，b的值，进而由余弦函数的特点求出最小值．（II）根据方程的根可得出sin（2α+
）=sin（2β+），然后由三角函数的特点可知2α+=2kπ+π-（2β+）进而得出α+β=kπ+，即可知tan（α+β）=1，从而证明结论．解答：解：（Ⅰ）f（x）=acos2x+
sin2x+a由f（0）=2 f（
）=+得
解得a=1 b=2
所以f（x）=cos2x+sin2x+1=
sin（2x+）+1所以f（x）min=1-
，此时x=kπ+，k∈Z（Ⅱ）α，β是方程
cos（2x-）+1=0的两个根∴
sin（2α）+1=sin（2β+）+1即sin（2α+）=sin（2β+）∴2α+
=2kπ+2β+ ①或2α+=2kπ+π-（2β+）②α-β≠kπ，
∴①舍去，由②得
α+β=kπ+
∴tan（α+β）=tan（kπ+
）=1∴
即sin（α+β）=cos（α+β）．
点评：此题考查了二倍角公式和两角和与差公式，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题．
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