Question

3．（1）已知4^x-1+3=4•2^x-1，求x的值．
（2）若1ga+1gb=2lg（a-2b），求log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{a}{b}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得（2^x-1）²-4•2^x-1+3=0，由此能求出x的值．
（2）由已知得$（\frac{a}{b}）^{2}-5×\frac{a}{b}+4=0$，且a＞0，b＞0，a-2b＞0，由此能求出log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{a}{b}$的值．

解答 解：（1）∵4^x-1+3=4•2^x-1，
∴（2^x-1）²-4•2^x-1+3=0，
解得2^x-1=1或2^x-1=3，
∴x-1=0，解得x=1，
或x-1=log₂3，解得x=log₂3+1．
∴x的值为1或log₂3+1．
（2）∵1ga+1gb=2lg（a-2b），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{b＞0}\\{a-2b＞0}\\{ab=（a-2b）^{2}}\end{array}\right.$，
∴a²+4b²-5ab=0，∴$（\frac{a}{b}）^{2}-5×\frac{a}{b}+4=0$，
解得$\frac{a}{b}$=4或$\frac{a}{b}$=1（舍），
∴log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{a}{b}$=$lo{g}_{\sqrt{2}}4$=4．

点评 本题考查指数方程的求法，考查对数值的求法，是基础题，解题时要注意对数、指数的性质和运算法则的合理运用．