Question

20．已知正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，求
（1）直线EF，AC所成角的大小；
（2）直线AE，CF所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）根据正四面体的性质，每条棱都相等，相对的棱互相垂直，可借助中位线，平移直线AC到FG，得到异面直线EF与AC所成的角，
再放入直角三角形EFG中，即可求得．
（2）连接AE，CF，DE，取DE中点M，连接MF，CM，可得出；AE∥FM，直线AE，CF所成角的大小与∠MFC相等，转化为在△FMC中，求解FM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，MC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$a，利用余弦定理得出COS∠MFC，即可求解角的大小．

解答 解：（1）取BD中点O，CD中点G，连接AO，CO，EF，EG，FG，
∵正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，
∴AO⊥DB，CO⊥BD，BD⊥面AOC，
∵AC⊆面AOC，
∴AC⊥DB，
∵E，F，G分别是BC，AD，CD的中点，DB=AC
∴AC∥FG，EG∥BD，$\frac{1}{2}$AC=FG，$\frac{1}{2}BD$=EG
∴FG⊥EG，FG=EG，
∴△EFG为等腰直角三角形，即∠EFG=$\frac{π}{4}$，
直线EF，AC所成角的大小为$\frac{π}{4}$．
（2）连接AE，CF，DE，取DE中点M，连接MF，CM，
∴可得出；AE∥FM，直线AE，CF所成角的大小与∠MFC相等，
设正四面体ABCD中，棱长为a，则AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，FM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵在Rt△MEC中，EM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，EC=$\frac{a}{2}$，
∴MC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$a，
∵在△FMC中，FM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，MC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$a，
∴COS∠MFC=$\frac{M{F}^{2}+F{C}^{2}-M{C}^{2}}{2×MF×FC}$=$\frac{2}{3}$，
∴∠MFC=arccos$\frac{2}{3}$．
故直线AE，CF所成角的大小为arccos$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查了正四面体中线线位置关系，以及异面直线所成角的求法，综合考查了学生的识图能力，作图能力，以及空间想象力