Question

9个数排成3行3列：其中每行按顺序构成等差数列，每列按顺序构成等比数列，并且已知x₂=2，x₆=6，x₇=4．求其余6个数．

Answer 1

分析：根据题设条件每行数都成等差数列，可先求出a₄₁，根据每列数都成等比数列，且所有公比都相同，可求公比q，进而可求a₁₁．

解答：解：由于每行按顺序构成等差数列，所以第三列等于第二列乘以2减去第一列，
由于最后一列也构成等比数列，所以第一列和第二列的公比相同．
（可以证明如果两个等比数列对应项之和构成的数列是等比数列，那么这两个等比数列的公比必然相等，例如a1+a2，a1q1+a2q2，a1

q

2 1

+a2

q

2 2

构成等比数列，那么(a1q1+a2q2)2=(a1+a2)(a1

q

2 1

+a2

q

2 2

)⇒2a1a2q1q2=a1a2(

q

2 1

+

q

2 2

)⇒q1=q2）
设第一行的公差为d，每列的公比为q，那么（2-d）q²=4，（2+d）q=6
解得d=1，q=2或d=-14，q=-

1

2

这9个数为

1 2 3 2 4 6 4 8 12

或者

16 2 -12 -8 -1 6 4 1 2 -3

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．