Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=2cosα y=2+2sinα

（α为参数）M是C₁上的动点，P点满足

OP

=2

OM

，P点的轨迹为曲线C₂
（Ⅰ）求C₂的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=

π

3

与C₁的异于极点的交点为A，与C₂的异于极点的交点为B，求|AB|．

Answer 1

分析：（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C₁的方程即可求出曲线C₂的方程；
（II）根据（I）将求出曲线C₁的极坐标方程，分别求出射线θ=

π

3

与C₁的交点A的极径为ρ₁，以及射线θ=

π

3

与C₂的交点B的极径为ρ₂，最后根据|AB|=|ρ₂-ρ₁|求出所求．

解答：解：（I）设P（x，y），则由条件知M（

x

2

，

y

2

）．由于M点在C₁上，
所以

x 2 =2cosα y 2 =2+2sinα

即

x=4cosα y=4+4sinα

从而C₂的参数方程为

x=4cosα y=4+4sinα

（α为参数）
（Ⅱ）曲线C₁的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C₂的极坐标方程为ρ=8sinθ．
射线θ=

π

3

与C₁的交点A的极径为ρ₁=4sin

π

3

，
射线θ=

π

3

与C₂的交点B的极径为ρ₂=8sin

π

3

．
所以|AB|=|ρ₂-ρ₁|=2

3

．

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．