Question

把正整数按“S”型排成了如图所示的三角形数表，第n行有n个数，设第n行左侧第一个数为a_n，如a₅=15，则该数列{a_n}的前n项和T_n（n为偶数）为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：方法一：（特值法）根据T₂=a₁+a₂=3，把n=2代入选项，排除C、D，再代入n=4，可判断选项；
方法二：因为当n为奇数时，，当n为偶数时，a_n=a_n-1+1，然后利用分组求和法求出数列{a_n}的前n项和T_n（n为偶数），可得结论．
解答：方法一：（特值法）因为T₂=a₁+a₂=3，把n=2代入选项，排除C、D，再代入n=4，因为T₄=16，B选项满足，故选B．
方法二：因为当n为奇数时，，当n为偶数时，a_n=a_n-1+1，
故n是偶数时，T_n=a₁+（a₁+1）+a₃+（a₃+1）+…+a_n-1+（a_n-1+1）
=2a₁+1+2a₃+1+…+2a_n-1+1
=
=
=（1²+1）+（3²+3）+…+[（n-1）²+（n-1）]
=[1²+3²+5²+…+（n-1）²]+[1+3+…+（n-1）]
令S=1²+2²+…+（n-1）²+n²，A=1²+3²+5²+…+（n-1）²，B=2²+4²+6²+…+n²，
A-B=1²-2²+3²-4²+5²-6²+…+（n-1）²-n²=-1-2-3-4-…-（n-1）-n=，
又，得=
则 T_n===．
故选B．
点评：本题主要考查了数列的求和，以及特殊值法的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．