Question

（2011•蓝山县模拟）把正整数按“S”型排成了如图所示的三角形数表，第n行有n个数，设第n行左侧第一个数为a_n，如a₅=15，则该数列{a_n}的前n项和T_n（n为偶数）为（　　）

• A．Tn=

  n(n+1)(2n+1)

  10

• B．Tn=

  n3

  6

  +

  n2

  4

  +

  n

  3

• C．Tn=

  n3

  6

  +

  n2

  4

  -

  n

  6

• D．Tn=

  n(n+1)(n+2)

  6

Answer 1

分析：方法一：（特值法）根据T₂=a₁+a₂=3，把n=2代入选项，排除C、D，再代入n=4，可判断选项；
方法二：因为当n为奇数时，an=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，当n为偶数时，a_n=a_n-1+1，然后利用分组求和法求出数列{a_n}的前n项和T_n（n为偶数），可得结论．

解答：解：方法一：（特值法）因为T₂=a₁+a₂=3，把n=2代入选项，排除C、D，再代入n=4，因为T₄=16，B选项满足，故选B．
方法二：因为当n为奇数时，an=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，当n为偶数时，a_n=a_n-1+1，
故n是偶数时，T_n=a₁+（a₁+1）+a₃+（a₃+1）+…+a_n-1+（a_n-1+1）
=2a₁+1+2a₃+1+…+2a_n-1+1
=2(a1+a3+…+an-1)+

n

2

=1×2+3×4+…+(n-1)n+

n

2

=（1²+1）+（3²+3）+…+[（n-1）²+（n-1）]+

n

2

=[1²+3²+5²+…+（n-1）²]+[1+3+…+（n-1）]+

n

2

令S=1²+2²+…+（n-1）²+n²，A=1²+3²+5²+…+（n-1）²，B=2²+4²+6²+…+n²，
A-B=1²-2²+3²-4²+5²-6²+…+（n-1）²-n²=-1-2-3-4-…-（n-1）-n=-

n(n+1)

2

，
又A+B=

n(n+1)(2n+1)

6

，得A=

n(n+1)(2n+1) 6 - n(n+1) 2

2

=

n(n+1)(n-1)

6

则 T_n=

n(n+1)(n-1)

6

+

(1+n-1)• n 2

2

+

n

2

=

n(n2-1)

6

+

n2

4

+

n

2

=

n3

6

+

n2

4

+

n

3

．
故选B．

点评：本题主要考查了数列的求和，以及特殊值法的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．