Question

【题目】已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为.

（1）求的解析式；

（2）若在区间上有最小值，求实数的值；

（3）设，若当时，函数的图象恒在图象的上方，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或；(3) .

【解析】

（1）通过，求出，利用1和3是方程的两根，结合韦达定理，求解函数的解析式．（2），，．对称轴为，分当时、当时、当时情况讨论函数的单调性求解函数的最值即可．

（3）当，时，恒成立．推出，，．构造函数通过换元法以及函数的单调性求解函数的最值，转化求解实数的取值范围．

（1）由，得，

又1和3是方程的两根，

所以，．

解得，，

因此．

（2），，．

对称轴为，分情况讨论：

当时，在，上为增函数，，

解得，符合题意；

当时，在，上为减函数，在，上为增函数，，

解得，其中舍去；

当时，在，上为减函数，（2），

解得，不符合题意．

综上可得，或．

（3）由题意，当，时，恒成立．

即，，．

设，，，则．

令，于是上述函数转化为，

因为，，所以，，

又在，上单调递减，所以当时，，

于是实数的取值范围是．