Question

11．在△ABC中$|AC|=1，|AB|=2，∠BAC=\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{DC}$，D，则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=（　　）

• A． -1
• B． $-\frac{2}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 将$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BC}$分别用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$表示，然后进行平面向量的数量积运算求值．

解答 解：由已知得到$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos\frac{π}{3}$=1，
$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，
则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=$（\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}）（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{2}{3}{\overrightarrow{AC}}^{2}-\frac{1}{3}{\overrightarrow{AB}}^{2}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}-\frac{4}{3}-\frac{1}{3}$=-1；
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积的运算；关键是正确利用向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示所求，进行数量积的运算．