题目内容

已知函数f（x）=
x
3x+1
，数列{an}满足a1=1，an+1=f(an)(n∈N*）
（1）求证：数列{
1
an
}是等差数列；
（2）记Sn（x）=
x
a1
+
x2
a2
+…+
xn
an
，求Sn（x）．
（1）由已知得：an+1=
an
3an+1
，
1
an+1
=
3an+1
an
=3+
1
an

∴
1
an+1
-
1
an
=3
∴{
1
an
}是首项为1，公差d=3的等差数列
（2）由（1）得
1
an
=1+（n-1）3=3n-2
∴Sn（x）=x+4x2+7x3+…+（3n-5）xn-1+（3n-2）xn
当x=1，Sn（1）=1+4+7+…+（3n-2）=
1+3n-2
2
•n=
n(3n-1)
2

当x≠1，0时，Sn（x）=x+4x2+7x3+…+（3n-5）xn-1+（3n-2）xn
xSn（x）=x2+4x3+7x4+…+（3n-5）xn+（3n-2）xn+1
（1-x）Sn（x）=x+（3x2+3x3+…+3xn）-（3n-2）xn+1
=x+
3x2(1-xn-1)
1-x
-(3n-2)xn+1
∴Sn(x)=
x-(3n-2)xn+1
1-x
+
3x2(1-xn-1)
(1-x)2
=
x(1-x)-(3n-2)xn+1(1-x)+3x2(1-xn-1)
(1-x)2

=
(3n-2)xn+2-(3n-2)xn+1+x-x2+3x2-3xn+1
(1-x)2

=
(3n-2)xn+2-(3n+1)xn+1+2x2+x
(1-x)2

当x=0时，Sn（0）=0也适合．
综上所述，x=1，Sn(1)=
n(3n-1)
2

x≠1，Sn（x）=
(3n-2)xn+2-(3n+1)xn+1+2x2+x
(1-x)2
．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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