题目内容

若函数y=f（x）在区间D上满足：f(
x1+x2+…xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
，则称y=f（x）在区间D上为“凸函数”．现已知y=sinx，x∈[0，π]为“凸函数”，且A，B，C，为△ABC的三个内角，则sinA+sinB+sinC的最大值为
3
3
2
3
3
2
．
分析：根据y=f（x）在区间D上为“凸函数”的定义，得到sin（
A+B+C
3
）≥
sinA+sinB+sinC
3
，由此求得sinA+sinB+sinC的最大值．
解答：解：由题意可得△ABC中，有 sin（
A+B+C
3
）≥
sinA+sinB+sinC
3
，化简可得 3•sin
π
3
≥sinA+sinB+sinC，
即
3
3
2
≥sinA+sinB+sinC，故sinA+sinB+sinC的最大值为
3
3
2
，
故答案为
3
3
2
．
点评：本题主要考查y=f（x）在区间D上为“凸函数”的定义，得到sin（
A+B+C
3
）≥
sinA+sinB+sinC
3
，是解题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知变量t，y满足关系式loga
t
a3
=logt
y
a3
，a＞0且a≠1，t＞0且t≠1，变量t，x满足关系式t=ax，变量y，x满足函数关系式y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）表达式；
（2）若函数y=f（x）在[2a，3a]上具有单调性，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=
38
x2-2x+2+ln x．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在[em，+∞）（m∈Z）上有零点，求m的最大值．
已知函数f（x）=-x2+2ax-3a．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在（-∞，1）上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当函数f（x）在[1，2]上的最大值为4时，求实数a的值．
已知函数f（2x）=x2-2ax+3
（1）求函数y=f（x）的解析式
（2）若函数y=f（x）在[
12
，8]上的最小值为-1，求a的值．
若函数y=f（x）在（0，+∞）上的导函数为f′（x），且不等式xf′（x）＞f（x）恒成立，又常数a，b满足a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是
 
．
①bf（a）＞af（b）；②af（a）＞bf（b）；③bf（a）＜af（b）；④af（a）＜bf（b）．

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