Question

已知函数f（2^x）=x²-2ax+3
（1）求函数y=f（x）的解析式
（2）若函数y=f（x）在[

1

2

，8]上的最小值为-1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意设t=2^x，求出t的范围和x，代入解析式，再把t换为x，求出f（x）的解析式；
（2）由x的范围求出

log

x 2

的范围，把

log

x 2

作为一个整体对f（x）配方，根据区间和对称轴分类讨论，由二次函数的性质求出最小值，列出方程求出a的值．

解答：解：（1）设t=2^x，则t＞0，且x=

log

t 2

代入解析式得，
∴f(t)=

(log

t 2

)2-2a

log

t 2

+3，t＞0，
则f(x)=

(log

x 2

)2-2a

log

x 2

+3，
（2）由

1

2

≤x≤8得，-1≤

log

x 2

≤3，
∴f(x)=

(log

x 2

)2-2a

log

x 2

+3=

(log

x 2

-a)2+3-a²
①当a≤-1时，即

log

x 2

=-1，f（x）的最小值是1+2a+3=-1，
解得a=-

5

2

，符合题意；
②当-1＜a＜3时，即

log

x 2

=a时，f（x）的最小值是3-a²=-1，
解得a=2或-2（舍去），则a=2；
③当a≥3时，即

log

x 2

=3时，f（x）的最小值是9-6a+3=-1，
解得a=

5

3

＜3，舍去，
综上得，a的值为：-

5

2

或2．

点评：本题考查了对数的运算，二次函数的性质，以及换元法求函数的解析式、最值问题，注意换元后需要求出未知数的范围，分类讨论思想的应用，属于中档题．