题目内容

数列{an}（n∈N*）满足
lim
n→∞
[(2n-3)an]=1，则
lim
n→∞
(nan)=
1
2
1
2
．
分析：由
lim
n→∞
[(2n-3)an]=1，求出
lim
n→∞
an=0，利用
lim
n→∞
(2nan-3an)=2
lim
n→∞
(nan)-3
lim
n→∞
an=1，即可求得结论．
解答：解：∵
lim
n→∞
[(2n-3)an]=1
∴
lim
n→∞
an=
lim
n→∞
[
1
2n-3
×(2n-3)an]=
lim
n→∞
1
2n-3
×
lim
n→∞
[(2n-3)an]=0
∵
lim
n→∞
[(2n-3)an]=1
∴
lim
n→∞
(2nan-3an)=1
∴2
lim
n→∞
(nan)-3
lim
n→∞
an=1
∴2
lim
n→∞
(nan)=1
∴
lim
n→∞
(nan)=
1
2

故答案为：
1
2
点评：本题考查数列的极限，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x3，g （x）=x+
x
．
（Ⅰ）求函数h （x）=f（x）-g （x）的零点个数．并说明理由；
（Ⅱ）设数列{ an}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f（an+1）=g（an），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有an≤M．
关于数列有下列四个判断：
①若a，b，c，d成等比数列，则a+b，b+c，c+d也成等比数列；
②若数列{an}是等比数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n…也成等比数列；
③若数列{an}既是等差数列也是等比数列，则{an}为常数列；
④数列{an}的前n项的和为Sn，且Sn=an-1(a∈R)，则{an}为等差或等比数列；
⑤数列{an}为等差数列，且公差不为零，则数列{an}中不会有am=an（m≠n）．
其中正确命题的序号是
②③④⑤
②③④⑤
．（请将正确命题的序号都填上）
设数列{an}前n的项和为Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3（n∈N*）．其中m为常数，m≠-3且m≠0
（1）求证：{an}是等比数列；
（2）若数列{an}的公比满足q=f（m）且b1=a1=1，bn=
3
2
f(bn-1)（n∈N*，n≥2），求证{
1
bn
}为等差数列，并求bn．
已知点Pn（an，bn）都在直线l：y=2x+2上，P1为直线l与x轴的交点，数列{an}成等差数列，公差为1（n∈N*）．
（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若f（n）=
an(n=2m+1)
bn(n=2m)
（m∈Z），问是否存在k∈N*，使得f（k+5）=2f（k）-2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求证：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
（n≥2，n∈N*）．
（2013•湛江一模）已知函数f（x）=ex-1，g(x)=
x
+x，其中e是自然对数的底，e=2.71828…．
（1）证明：函数h（x）=f（x）-g（x）在区间（1，2）上有零点；
（2）求方程f（x）=g（x）根的个数，并说明理由；
（3）若数列{an}（n∈N*）满足a1=a（a＞0）（a为常数），an+13=g（an），证明：存在常数M，使得对于任意n∈N*，都有an≤M．

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