Question

设数列{a_n}前n的项和为S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*）．其中m为常数，m≠-3且m≠0
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）若数列{a_n}的公比满足q=f（m）且b1=a1=1，bn=

3

2

f(bn-1)（n∈N^*，n≥2），求证{

1

bn

}为等差数列，并求b_n．

Answer 1

分析：（1）根据所给的关系式（3-m）S_n+2ma_n=m+3，仿写一个关系式，两式相减，减掉了前n项和的形式，变成数列的递推式，得到连续两项的比值等于常数，证出是一个等比数列．
（2）根据所给的关于数列的关系式，看清题目的发展方向是求通项的倒数是一个等差数列，需要把关系式两边同时除以连续两项的积，得到结论，写出通项．

解答：解：（1）由（3-m）S_n+2ma_n=m+3，得（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，
两式相减，得（3+m）a_n+1=2ma_n，（m≠-3）
∴

an+1

an

=

2m

m+3

，
∴{a_n}是等比数列．
（2）由b₁=a₁=1，q=f（m）=

2m

m+3

，
n∈N且n≥2时，b_n=

3

2

f（b_n-1）=

3

2

•

2bn-1

bn-1+3

得
b_nb_n-1+3b_n=3b_n-1⇒

1

bn

-

1

bn-1

=

1

3

．
∴{

1

bn

}是1为首项

1

3

为公差的等差数列，
∴

1

bn

=1+

n-1

3

=

n+2

3

，故有b_n=

3

n+2

．

点评：本题考查有递推式求通项，这是数列中常见的一种题目，在解题时注意要求证明数列是等比数列或等差数列，需要按照数列的定义来看题目的思路．