Question

已知函数f（x）=x²+（2a-1）x-3
（1）当a=2，x∈[-2，3]时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）在[-1，3]上的最大值为1，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，先将二次函数进行配方，然后求出对称轴，结合函数的图象可求出函数的值域．
（2）根据二次函数的性质可知二次项的系数为正数，函数f（x）=x²+（2a-1）x-3的对称轴是：x=

1

2

-a．进行分类讨论：当=

1

2

-a＞1时，当=

1

2

-a＞1时，分别函数f（x）在[-1，3]上的最大值，再根据最值在定点处取得建立等式关系，解之即可．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=x²+3x-3
=（x+

3

2

）²-

21

4

，对称轴为x=-

3

2

＜3，
∴函数在[-2，-

3

2

]上单调递减函数，在[-

3

2

，3]上单调递增函数，
∴f（

3

2

）≤y≤f（3）
f（3）=15，f（

3

2

）=-

21

4

∴该函数的值域为：[-

21

4

，15]．
（2）函数f（x）=x²+（2a-1）x-3的对称轴是：x=

1

2

-a．
当

1

2

-a＞1时，函数f（x）在[-1，3]上的最大值为f（-1）=-2a-1=1
∴a=-1；
当

1

2

-a≤1时，函数f（x）在[-1，3]上的最大值为f（3）=6a+3=1
∴a=-

1

3

；
∴实数a的值a=-

1

3

．或a=-1．

点评：本题主要考查了函数的值域，以及二次函数的图象等有关基础知识，考查计算能力，数形结合的思想，属于基础题．