Question

设无穷数列{a_n}的前n项和为S_n，且，p为常数，p＜-3．
（1）求证：{a_n}是等比数列，写出{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的公比q=f（p），无穷数列{b_n}满足：b₁=a₁，，求证：是等差数列，并写出{b_n}的通项公式；
（3）设，在（2）的条件下，有，求数列{c_n}的各项和．

Answer 1

解：（1）（3-p）S_n+2pa_n=3+p，p为常数，且p＜-3，n∈N*．
所以（3-p）S_n-1+2pa_n-1=3+p，（n≥2），两式相减得：（3-p）a_n+2pa_n-2pa_n-1=0 （n≥2）
即：（3+p）a_n=2pa_n-1 （n≥2），所以 （n≥2）--------------------------2分
当n=1时，（3-p）a₁+2pa₁=3+p，a₁=1，故数列{a_n}是等比数列-----------------------2分
a_n=（）^n-1--------------------------------------------2分
（2）数列{a_n}的公比q=f（p），q=f（p）=，b₁=a₁，b_n=f（b_n-1），（n≥2），
所以b_n=?=，所以==+，=，b₁=a₁=1------------------3分
数列{}是等差数列，=1+（n-1）=，所以b_n=；----------------2分
（3）因为a_n-a_n+1=（）^n-1-（）ⁿ=（）^n-1[1-]=
由=
因为lga_n=lg（）^n-1=（n-1）lg，
b_nlga_n=lg（b_nlga_n）=[lg]=3lg
因为，所以，p=-9----------------3分
所以c_n=-（）^n-1，故{c_n}的各项和为S==-．----------------2分．
分析：（1）通过，通过推出，即可判断数列是等比数列．
（2）利用数列{a_n}的公比q=f（p），以及，求出b_n，即可．
（3）设，在（2）的条件下，推出，求出p，然后求出数列{c_n}的各项和．
点评：本题考查数列的判断，数列通项公式的求法，前n项和的求法，数列极限的应用，考查计算能力，转化思想的应用．