Question

古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为

47

．

Answer 1

分析：根据题目所给三角形数的特点，结合数列的实质是函数，我们可以猜测三角形数的项和项数之间是不是满足已学过的初等函数，明显不是一次函数，可猜测二次函数，把前三项代入后求出二次函数的对应系数，然后再代入几项验证，如获通过可用来求第22项和第24项．

解答：解：引入自变量n和因变量s，列表得

n	1	2	3	4	5	…
s	1	3	6	10	15	…

在猜想一次关系未获通过的情况下，调整为二次函数关系s=an²+bn+c，把（1，1），（2，3），（3，6）分别代入解之，得关系式为s=

1

2

n2+

1

2

n，或化为s=

n(n+1)

2

．以（4，10），（5，15）验证均获通过．因此可求得第24个与第22个三角形数分别为300，253，故这两个三角形数的差为47．
故答案为47．

点评：本题考查了数列的函数特性，同时考查了数学中的归纳猜想，根据数列前几项的特点，猜想数列通项的函数性质，然后用部分已知条件代入猜想的结论，说明猜想的正确性，最后运用归纳猜想求得要求的结果．