Question

2．如图，已知圆O的半径为1，A，B是圆上两点，∠AOB=$\frac{2π}{3}$，MN是圆O的一条直径，点C在圆内且满足点C在线段AB上，则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值为-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{OM}$）•（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{ON}$），根据 $\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-1×1=-1，求 $\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$最小值，问题就是求${\overrightarrow{CO}}^{2}$的最小值，因为C在AB线段上，那么C在AB中点时候，|$\overrightarrow{CO}$|=$\frac{1}{2}$最小，由此求得 $\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{OM}$）•（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{ON}$）
=${\overrightarrow{CO}}^{2}$+$\overrightarrow{CO}$•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$．
由于MN是一条直径，
∴$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-1×1=-1，
要求$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$最小值，
问题就是求$\overrightarrow{CO}$²的最小值，
|AB|=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
因为C在AB线段上，
那么C在AB中点时，|$\overrightarrow{CO}$|=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$最小，
此时$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值为$\frac{1}{4}$-1=-$\frac{3}{4}$．
故答案为：-$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．