Question

13．已知F₁、F₂分别是双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的左、右焦点，点P为右支上一点，O为坐标原点，若向量（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）与$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的夹角为120°，则点F₂到直线PF₁的距离为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{7}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{21}$

Answer 1

分析 以$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{O{F}_{2}}$为邻边作平行四边形POF₂M，连接OM，则PF₁OM是平行四边形，则∠F₁PF₂=60°，由余弦定理可得|PF₂|=4，利用|F₂H|=|PF₂|sin60°，可得结论．

解答 解：以$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{O{F}_{2}}$为邻边作平行四边形POF₂M，连接OM，则PF₁OM是平行四边形，则∠F₁PF₂=60°，
F₁（-$\sqrt{7}$，0），F₂（$\sqrt{7}$，0），
设|PF₂|=x，则|PF₁|=x+2，由余弦定理可得（2$\sqrt{7}$）²=x²+（x+2）²-2x（x+2）×$\frac{1}{2}$，
∴x=4，即|PF₂|=4，
∴|F₂H|=|PF₂|sin60°=2$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查向量知识的运用，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，正确求出|PF₂|=4是关键．