Question

2．已知函数f（x）=a^x-b的反函数为f^-1（x），f^-1（x）的图象过点（3，2），函数g（x）=log₂（3x+b）的图象过点（1，1）．
（1）求a，b的值；
（2）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范围D．

Answer 1

分析 （1）根据互为反函数的图象与性质，列出方程求出a与b的值；
（2）根据f（x）求出f^-1（x）的解析式，由f^-1（x）≤g（x），列出不等式组，求出解集即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=a^x-b的反函数为f^-1（x），
且f^-1（x）的图象过点（3，2），
∴f（2）=a²-b=3；
又函数g（x）=log₂（3x+b）的图象过点（1，1），
∴g（1）=log₂（3+b）=1，
即3+b=2，
解得b=-1；
∴a²=3+b=2，
∴a=$\sqrt{2}$或a=-$\sqrt{2}$（舍去），
综上，a=$\sqrt{2}$，b=-1；
（2）∵f（x）=${（\sqrt{2}）}^{x}$+1，
∴f^-1（x）=${log}_{\sqrt{2}}$（x-1）；
又f^-1（x）≤g（x），
∴${log}_{\sqrt{2}}$（x-1）≤log₂（3x-1），
即${log}_{\sqrt{2}}$（x-1）≤${log}_{\sqrt{2}}$$\sqrt{3x-1}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{3x-1＞0}\\{（x-1）≤\sqrt{3x-1}}\end{array}\right.$，
解得1＜x≤$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$；
∴x的取值范围是（1，$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$]．

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了函数的性质与应用问题，考查了转化思想的应用问题，
是基础题目．