Question

【题目】设，函数.

（I）证明：当时，对任意实数，直线总是曲线的切线；

（Ⅱ）若存在实数，使得对任意且，都有，求实数的最小值.

Answer 1

【答案】（I）见证明；（Ⅱ）-1

【解析】

（I）将代入函数解析式，再对函数求导，由与的值，即可证明结论；

（Ⅱ）若存在实数，使得对任意且，都有等价于存在实数，使得对任意，都有，且对任意，都有，再由，得，进而可求出结果.

易得的导数.

（I）证明：此时，.

注意到对任意实数，，，

故直线是曲线在原点处的切线；

（Ⅱ）由题意，存在实数，使得对任意，都有，且对任意，都有.

因，故（否则，若，则在的左右附近，恒有，

从而单调递减，不合题意）.

于是，因此.

又当，时，（等号成立当且仅当），

于是在内单调递增，满足题意.

所以的最小值为.