Question

由a₁=1，a_n+1=

an

5an+1

给出的数列{a_n}的第8项是（　　）

• A、

  1

  100

• B、

  1

  66

• C、

  1

  41

• D、

  1

  36

Answer 1

分析：解法一：由递推公式一项一项的算出第8项；解法二：由递推公式变形可知这个数列的倒数成等差数列，求出通项之后可第8项．

解答：解：法一：a2=

a1

5a1+1

=

1

6

   
        a3=

a2

5a2+1

=

1

11

        a4=

a3

5a3+1

=

1

16

        a5=

a4

5a4+1

=

1

21

        a6=

a5

5a5+1

=

1

26

        a7=

a6

5a6+1

=

1

31

        a8=

a7

5a7+1

=

1

36

     
故选C．
法二：由an+1=

an

5an+1

变形得：a_n-a_n+1=5a_na_n+1
两边同乘以

1

anan+1

可得：

1

an+1

-

1

an

=5
所以，数列{

1

an

}是以1为首相，以5为公差的等差数列．
故 

1

an

=5n-4  即 an=

1

5n-4

∴a8=

1

36

故选C．

点评：本题主要考查由数列的递推公式求数列的项，用解法一写出几项也不难看出规律；用解法二难点在于公式的正确变形．