Question

【题目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1 ， BC的中点，AE⊥A1B1 ， D为棱A1B1上的点．

（1）证明：AB⊥AC；
（2）证明：DF⊥AE；
（3）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，

又∵AA1⊥AB，AA1∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1．

又∵AC面A1ACC1，∴AB⊥AC

（2）证明：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，

则有 ，

设 且λ∈（0，1），

即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），则D（λ，0，1），∴ ，

∵ ，∴ ，所以DF⊥AE

（3）解：结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 ，理由如下：

由题可知面ABC的法向量 ，设面DEF的法向量为 ，

则 ，

∵ ，

∴ ，即 ，

令z=2（1﹣λ），则 ．

∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 ，

∴ = ，

即 = ，

解得 或 （舍），

所以当D为A1B1中点时满足要求．

【解析】（1）根据线面垂直的性质定理证明AB⊥面A1ACC1 ． 即可．（2）建立空间坐标系，求出直线对应的向量，利用向量垂直的关系进行证明．（3）求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．