Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=PC，BC= AD=2，CD=4
（1）求证：直线PA∥平面QMB；
（2）若二面角P﹣AD﹣C为60°，求直线PB与平面QMB所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BQ，连接AC交BQ于点O，连接OM．

∵Q为AD的中点，BC= AD=2，

∴BC=DQ，又BC∥DQ，∠ADC=90°，

∴四边形BCDQ是矩形．

∴BQ∥CD，又Q是AD的中点，∴点O是AC的中点．

又M是棱PC的中点，∴OM∥PA．

又AP平面QMB，OM平面QMB，

∴直线PA∥平面QMB

（2）解：∵Q为AD的中点，PA=PD，

∴PQ⊥AD，又BQ⊥AD，

∴∠PQB是二面角P﹣AD﹣C的二面角的平面角．

∴∠PQB=60°，

∴PA=PD=PC，

∴点P在平面ADC的射影是Rt△ACD的外心．．

∵△ADC为等腰直角三角形，∴O为△ADC的外心，

∴PO⊥平面ABCD．

在Rt△PQO中，∵∠PQO=60°．

∴PO=2 ．

过点O作Ox∥DA，以Ox、OB、OC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

取B（0，2，0），Q（0，﹣2，0），P（0，0，2 ），C（﹣2，2，0）．

∵M是PC的中点，

∴M（﹣1，1， ）．

=（﹣1，﹣1， ）， =（0，﹣4，0）．

设平面QMB的法向量为 =（x，y，z）， ， ．

取 = ，

又 = ．

∴直线PB与平面QMB所成角的正弦值是： = = ．

∴直线PB与平面QMB所成角的余弦值为 ．

【解析】（1）连接BQ，连接AC交BQ于点O，连接OM．由已知可得四边形BCDQ是矩形．由BQ∥CD，又Q是AD的中点，可得点O是AC的中点．又M是棱PC的中点，可得OM∥PA，即可证明直线PA∥平面QMB．（2）Q为AD的中点，PA=PD，PQ⊥AD，又BQ⊥AD，∠PQB是二面角P﹣AD﹣C的二面角的平面角．由PA=PD=PC，可得点P在平面ADC的射影是Rt△ACD的外心．O为△ADC的外心，可得PO⊥平面ABCD．过点O作Ox∥DA，以Ox、OB、OC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设平面QMB的法向量为 =（x，y，z）， ，可得 ，直线PB与平面QMB所成角的正弦值= ．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．