Question

如图，已知四边形 ABCD 是矩形，AB=2BC=2，三角形 PAB 是正三角形，且 平面 ABCD⊥平面 PCD．
（1）若 O 是 CD 的中点，证明：BO⊥PA；
（2）求二面角 B-PA-D 的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可证明；
（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的大小．
解答：（1）证明：∵平面 ABCD⊥平面 PCD，平面 ABCD∩平面 PCD=CD，四边形 ABCD 是矩形．
∴AD⊥平面PCD，BC⊥平面PCD，
在Rt△PDA与在Rt△PBC中，AD=BC，PB=PA，∴PC=PD=．
若 O 是 CD 的中点，OP⊥CD．
．
建立如图所示的空间直角坐标系，AB=2BC=2．
则O（0，0，0），B（1，0，1），A（-1，0，1），P（0，，0）．
∴，．
∴==0，
∴，∴BO⊥PA．
（2）由（1）可知：．
设平面BPA的法向量为，
由，得，取y₁=1，则，x₁=0．
∴平面BPA的一个法向量为．
取，设平面PAD的法向量为．
则，则，取y₂=1，则，z₂=0．
∴．
∴===．
由图可以看出：二面角 B-PA-D 是一个钝角，故其余弦值为．
点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角=0证明异面直线垂直；利用两个平面的法向量的夹角得出二面角的方法．