Question

已知f₀(x)＝xⁿ，f_k(x)＝，其中k≤n(n，k∈N₊)．设F(x)＝f₀(x²)＋f₁(x²)＋…＋f_k(x²)＋…＋f_n(x²)，x∈[－1，1]．

(1)写出f_k(1)；

(2)证明：对任意的x₁，x₂∈[－1，1]，恒有|F(x₁)－F(x₂)|≤2^n－1(n＋2)－n－1．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：由已知推得fk(x)＝(n－k＋1)xn－k，从而有 　　fk(1)＝n－k＋1． 　　(2)证法一：当－1≤x≤1时， 　　F(x)＝x2n＋＋＋…＋(n－k＋1)＋…＋2， 　　当x＞0时，(x)＞0，所以F(x)在[0，1]上是增函数． 　　又F(x)是偶函数，所以F(x)在[－1，0]上是减函数． 　　所以对任意的x1，x2∈[－1，1]，恒有 　　|F(x1)－F(x2)|≤F(1)－F(0)． 　　F(1)－F(0)＝＋n＋(n－1)＋…＋(n－k＋1)＋…＋2 　　＝n＋(n－1)＋…＋(n－k＋1)＋…＋2＋． 　　∵(n－k＋1)＝(n－k)＋＝(n－k)·＋ 　　＝n·＋ 　　＝n＋(k＝1，2，…，n－1)， 　　∴F(1)－F(0)＝n(＋＋…＋)＋(＋＋…＋)＋ 　　＝n(2n－1－1)＋2n－1 　　＝2n－1(n＋2)－n－1． 　　因此结论成立． 　　证法二：当－1≤x≤1时， 　　F(x)＝x2n＋nx2(n－1)＋(n－1)x2(n－2)＋…＋(n－k＋1)x2(n－k)＋…＋2x2＋1， 　　当x＞0时，(x)＞0，所以F(x)在[0，1]上是增函数． 　　又F(x)是偶函数，所以F(x)在[－1，0]上是减函数． 　　所以对任意的x1，x2∈[－1，1]，恒有 　　|F(x1)－F(x2)|≤F(1)－F(0)． 　　F(1)－F(0)＝＋n＋(n－1)＋…＋(n－k＋1)＋…＋2， 　　又∵F(1)－F(0)＝2＋3＋…＋n＋， 　　∴2(F(1)－F(0))＝(n＋2)(＋＋…＋)＋2， 　　∴F(1)－F(0)＝(n＋2)(＋＋…＋)＋1＝(n＋2)·＋1＝2n－1(n＋2)－n－1． 　　因此结论成立． 　　分析：本小题主要考查导数的基本计算，函数的性质，绝对值不等式及组合数性质等基础知识，考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分12分．