题目内容
如图：在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，DD1垂直底面，且DD1=2，底面四边形ABCD与A1B1C1D1分别为边长2和1的正方形．（1）求直线DB1与BC1夹角的余弦值；
（2）求二面角A-BB1-C的余弦值．
分析：（1）以D为坐标原点，以DA，DB，DC为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，利用
与
的夹角余弦值求直线DB1与BC1夹角的余弦值．
（2）直线DB是直线B1B在平面ABCD上的射影则AC⊥DB，根据三垂线定理，有AC⊥B1B．过点A在平面ABB1A1内作AM⊥B1B于M，连接MC，MO，由△AMB≌△CMB，得CM⊥BB1，∠AMC是二面角A-B1B-C的一个平面角，在三角形AMC中求出此角即可
| DB1 |
| BC1 |
（2）直线DB是直线B1B在平面ABCD上的射影则AC⊥DB，根据三垂线定理，有AC⊥B1B．过点A在平面ABB1A1内作AM⊥B1B于M，连接MC，MO，由△AMB≌△CMB，得CM⊥BB1，∠AMC是二面角A-B1B-C的一个平面角，在三角形AMC中求出此角即可
解答：解：（1）以D为坐标原点，以DA，DB，DC为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系．如图①
则各点坐标D（0，0，0），B（2，2，0），B1（1，1，2），C1（0，1，2）
=（1，1，2），
=（-2．-1，2）
设
，
的夹角为θ，则cosθ=
=
=
直线DB1与BC1夹角的余弦值为
．
（2）如图②
∵直线DB是直线B1B在平面ABCD上的射影，AC⊥DB，
根据三垂线定理，有AC⊥B1B．
过点A在平面ABB1A1内作AM⊥B1B于M，连接MC，MO，
由△AMB≌△CMB，得CM⊥BB1
所以，∠AMC是二面角A-B1B-C的一个平面角．
根据勾股定理，有 A1A=
，C1C=
，B1B=
．
∵OM⊥B1B，有 OM=
=
，
BM=
，AM=
，CM=
．
cos∠AMC=
=-
．
则各点坐标D（0，0，0），B（2，2，0），B1（1，1，2），C1（0，1，2）
| DB1 |
| BC1 |
设
| DB1 |
| BC1 |
|
| ||||
|
| 1 | ||||
|
| ||
| 54 |
直线DB1与BC1夹角的余弦值为
| ||
| 54 |
（2）如图②
∵直线DB是直线B1B在平面ABCD上的射影，AC⊥DB，
根据三垂线定理，有AC⊥B1B．
过点A在平面ABB1A1内作AM⊥B1B于M，连接MC，MO，
由△AMB≌△CMB，得CM⊥BB1
所以，∠AMC是二面角A-B1B-C的一个平面角．
根据勾股定理，有 A1A=
| 5 |
| 5 |
| 6 |
∵OM⊥B1B，有 OM=
| B1O?OB |
| B1B |
| 2 | ||
|
BM=
|
|
|
cos∠AMC=
| AM2+CM2-AC2 |
| 2AM?CM |
| 1 |
| 5 |
点评：本小题主要考查直线与直线的夹角、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题
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