题目内容
（2009•聊城一模）如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2．（Ⅰ）求证：B1B∥平面D1AC；
（Ⅱ）求二面角B1-AD1-C的余弦值．
分析：（I）以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图，分别求出直线B1B和直线D1E的方向向量，判定两直线平行后，根据线面垂直的性质定理可得B1B∥平面D1AC；
（ II）分别求出平面AB1D1的法向量和平面D1AC的一个法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
（ II）分别求出平面AB1D1的法向量和平面D1AC的一个法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
解答：
解：以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图，
则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），
B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）．…（3分）
（Ⅰ）证明：设AC∩BD=E，连接D1、E，
则有E(1，1，0)，
=
=(1，1，-2)，
所以B1B∥D1E，
∵BB?平面D1AC，D1E?平面D1AC，
∴B1B∥平面D1AC；…（6分）
（ II）
=(1，1，0)，
=(2，0，-2)，
设
=(x，y，z)为平面AB1D1的法向量，
•
=x+y=0，
•
=2x-2z=0．
于是令x=1，则y=-1，z=1．
则
=(1，-1，1)…（8分）
同理可以求得平面D1AC的一个法向量
=(1，1，1)，…（10分）
cos＜
，
＞=
=
．
∴二面角B1-AD1-C的余弦值为
．…（12分）
解：以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），
B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）．…（3分）
（Ⅰ）证明：设AC∩BD=E，连接D1、E，
则有E(1，1，0)，
| D1E |
| B1B |
所以B1B∥D1E，
∵BB?平面D1AC，D1E?平面D1AC，
∴B1B∥平面D1AC；…（6分）
（ II）
| D1B1 |
| D1A |
设
| n |
| n |
| B1D1 |
| n |
| D1A |
于是令x=1，则y=-1，z=1．
则
| n |
同理可以求得平面D1AC的一个法向量
| m |
cos＜
| m |
| n |
| ||||
|
|
| 1 |
| 3 |
∴二面角B1-AD1-C的余弦值为
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，向量语言表述线面的垂直、平行关系，其中建立适当的空间坐标系，将线面关系及二面角问题转化为空间向量问题是解答本题的关键．
练习册系列答案
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