Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂a_n=S₂+S_n对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）设a₁＞0，数列的前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出T_n的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意，n=2时，由已知可得，a₂（a₂-a₁）=a₂，分类讨论：由a₂=0，及a₂≠0，分别可求a₁，a₂
（II）由a₁＞0，令，可知==，结合数列的单调性可求和的最大项
解答：解：（I）当n=1时，a₂a₁=s₂+s₁=2a₁+a₂①
当n=2时，得②
②-①得，a₂（a₂-a₁）=a₂③
若a₂=0，则由（I）知a₁=0，
若a₂≠0，则a₂-a₁=1④
①④联立可得或
综上可得，a₁=0，a₂=0或或
（II）当a₁＞0，由（I）可得
当n≥2时，，
∴
∴（n≥2）
∴=
令
由（I）可知==
∴{b_n}是单调递减的等差数列，公差为-lg2
∴b₁＞b₂＞…＞b₇=
当n≥8时，
∴数列的前7项和最大，==7-
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．