Question

【题目】在底面是正方形的四棱锥中, , ,点在上,且.

（Ⅰ）求证: 平面;

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）易证， ，从而可证平面；

（Ⅱ）以A为坐标原点，直线分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求得平面ACE的法向量为，及平面ACD的法向量，由法向量夹角公式求解即可.

试题解析：

(1)正方形ABCD边长为1,PA=1, ，

所以，即，

根据直线和平面垂直的判定定理，有平面.

(2)如图，以A为坐标原点，直线分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.

则，

由(1)知为平面ACD的法向量, ，

设平面ACE的法向量为，

则

令,则,

设二面角的平面角为,则=，

又有图可知， 为锐角，

故所求二面角的余弦值为.