Question

【题目】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年.

（1）当时，求关于的函数表达式.

（2）当养殖密度为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.

【解析】

（1）由题意：当时，．当时，设，利用函数单调性及最值列方程组可求出，进而能求出函数；
（2）依题意并由（1），得，当时，利用的单调性，求出，当时，利用的二次函数的性质，可求出，比较大小即可求出最大值．

（1）由题意得当时，.

当时，设，

由已知得解得所以.

故函数

（2）设鱼的年生长量为千克/立方米，依题意，由（1）可得，

当时，，；

当时，，.

所以当时，的最大值为12.5，

即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.