Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，AB=2a，E为A₁B₁的中点在．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（II）求二面角D-BE-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由题意，因为是长方体所以AE⊥BC，又有AA₁=AD=a，AB=2a，E为A₁B₁的中点，可以计算出AE⊥EB，进而证得线面垂直；
（II）有长方体的特点建立空间直角坐标系，利用向量的知识求解出二面角的大小．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC⊥侧面ABB₁A₁，AE?侧面ABB₁A₁，
∴AE⊥BC，（2分）
在△ABE中，AB=2a，AE=BE=

2

a，
则有AB²=AE²+BE²，∴∠AEB=90°，∴AE⊥EB，
又BC∩EB=B∴AE⊥平面BCE（6分）

（II）以点D为坐标原点，建立如图所示的坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），B（2a，a，0），E（a，a，a，），A（0，a，0），

AE

=(a，0，a)，

DB

=(2a，a，0)，

DE

=（a，a，a），
设平面BDE的法向量为

n

=(x，y，z)，则由

n

•

DB

=0，

n

•

DE

=0，
得，

2ax+ay=0 ax+ay+az=0

，
令x=1，得

n

=(1，-2，1)，
又由（I）AE⊥平面BCE，

AE

=（a，0，a）为平面BCE的法向量，
cos＜

AE

，

n

＞=

AE • n

|AE |•| n |

=

3

3

即所求二面角D-BE-C的余弦值为

3

3

..

点评：此题重点考查了长方体的特征，还考查了线面垂直的判定定理，此外还考查了建立空间直角坐标，利用空间向量的知识求二面角的大小．