Question

已知f(x)=-2cos2x-2

2

sinx+2定义域为R．
（1）求f（x）的值域；
（2）在区间[-

π

2

，

π

2

]上，f（α）=3，求sin(2α+

π

3

)）．

Answer 1

分析：（1）根据所给的三角函数式，利用二倍角公式整理，得到关于正弦的二次函数形式，根据正弦函数的值域，做出二次函数在闭区间上的范围，得到结果．
（2）根据（1）整理出的结果，根据所给的等式和角的范围，解出变量α的值，代入三角函数式进行求解．

解答：解：（1）∵f(x)=-2(1-sin2x)-2

2

sinx+2=2(sinx-

2

2

)2-1
∵x∈R，
∴sinx∈[-1，1]
根据二次函数的性质知函数在闭区间上的范围是[-1，2+2

2

]
∴函数的值域[-1，2+2

2

]
（2）由（1）得，f(α)=2(sinα-

2

2

)2-1=3
∴(sinα-

2

2

)2=2，
又∵α∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴α=-

π

4

∴sin(2α+

π

3

)=sin(-

π

2

+

π

3

)=sin(-

π

6

)=-

1

2

点评：本题考查三角函数的化简求值，本题解题的关键是对所给的函数式进行整理，借助于二次函数与正弦函数的值域来求值和最值，本题是一个中档题目．