Question

在数列{an}中，a1=1，a2=

2

，S_n是数列{a_n}的前n项和．当n≥2且n∈N^*时，S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1，令bn=

a

4 n

(

1

a 4 1

+

1

a 4 2

+

1

a 4 3

+…+

1

a 4 n-1

)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试用n和b_n表示b_n+1；
（3）若b₁=1，n∈N^*，证明：(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)＞

29

9

-

2(n+1)

n(n+2)

．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1化简可得数列{a_n²}是首项为1，公差为1的等差数列，求出通项公式开方可得数列{a_n}的通项公式；
（2）根据b_n的通项公式得到b_n+1的通项，然后相减得

bn+1

(n+1)2

-

bn

n2

=

1

n2

，移项化简可得b_n+1；
（3）当n=1时，不等式成立；当n≥2时，列举b_n各项化简不等式的左边，然后当k≥2时，利用

1

k2

≥

1

3

(

1

k-1

-

1

k+2

)即可得证．

解答：解：（1）由S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1
得（S_n+1-S_n）²-（S_n-S_n-1）²=1，即a_n+1²-a_n²=1（n≥2，n∈N^*）
∴数列{a_n²}是首项为1，公差为1的等差数列
于是

a

2 n

=n，∴an=

n

(n∈N*)

（2）当n≥2时，∵

bn

n2

=1+

1

22

+

1

32

++

1

(n-1)2

∴

bn+1

(n+1)2

=1+

1

22

+

1

32

++

1

(n-1)2

+

1

n2

．
∴

bn+1

(n+1)2

-

bn

n2

=

1

n2

∴bn+1=

(n+1)2(bn+1)

n2

(n≥2，n∈N*)

（3）当n=1时，1+

1

b1

=2＞

29

9

-

2×2

1×3

=

17

9

，不等式成立；
当n≥2时，由（1）得

bn+1

bn+1

=

n2

(n+1)2

∴(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

bn

)=2•

bn+1

(n+1)2

=2(1+

1

22

+

1

32

++

1

n2

)
又当k≥2时，

1

k2

≥

1

3

(

1

k-1

-

1

k+2

)
∴

n

k=1

1

k2

≥1+

1

3

(1+

1

2

+

1

3

-

1

n

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

29

18

-

3n2+6n+2

3n(n+1)(n+2)

＞

29

18

-

3n2+6n+3

3n(n+1)(n+2)

=

29

18

-

n+1

n(n+2)

于是当n≥2时，(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

bn

)＞

29

9

-

2(n+1)

n(n+2)

综上所述，对一切n∈N^*，不等式都成立．

点评：考查学生灵活运用数列解决实际问题的能力，以及会求等差、等比数列的通项公式及前n项和的公式．会利用数列进行不等式的证明．