Question

【题目】已知多面体ABCDEF中，四边形ABFE为正方形，，，G为AB的中点，.

（1）求证：平面CDEF；

（2）求平面ACD与平面BCF所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

(1) 证明：取中点,连接,推出,；

再证明平面,即可证明平面；

(2)根据(1)有平面,且,故可以为空间直角坐标系原点建系,根据空间向量的方法求解平面与平面所成锐二面角的余弦值

(1)证明：取中点,连接,根据题意可知,四边形是边长为2的正方形,所以,易求得,所以, 于是；

而,所以平面,又因为,所以平面；

(2)因为平面,且,故以为空间直角坐标系原点建立如图空间直角坐标系.

由题意可知,故.

设平面的法向量,则,即,

不妨设,则易得.故.

又,故可设平面的法向量.

设平面与平面所成锐二面角为,故.