题目内容
已知数列{an}、{bn}、{cn}的通项公式满足bn＝an+1－an，cn＝bn+1－bn(n∈N*)，若数列{bn}是一个非零常数列，则称数列{an}是一阶等差数列；若数列{cn}是一个非零常数列，则称数列{an}是二阶等差数列．
(Ⅰ)试写出满足条件a1＝1、b1＝1、cn＝1的二阶等差数列{an}的前五项；
(Ⅱ)求满足条件(1)的二阶等差数列{an}的通项公式an；
(Ⅲ)若数列{an}首项a1＝2，且满足cn－bn+1＋3an＝－2n+1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
答案：
解析：
解析：
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解：(Ⅰ) (Ⅱ)依题意 所以 又 所以 (Ⅲ)由已知 即 ∴ 解法一：整理得： 因而数列 ∴ 即 解法二：在等式 令 故数列 所以 ∴ 解法三：∵ ∴ 猜想： 下面用数学归纳法证明如下： (ⅰ)当 (ⅱ)假设 那么当 ∴由(ⅰ)、(ⅱ)可知， |
，
，
，
，
4分
6分
8分
，可得
，
，
10分
， 12分
是首项为
，公比为4的等比数列，
，
14分
两边同时除以
得：
11分
，则
，即
.
是首项为
，公比为
，即
14分
，
，
，
12分
时，
，猜想成立；
时，猜想成立，即
时，
，结论也成立
14分
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