Question

点M、N、P分别是正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中的棱CC₁、BC、CD的中点.求证：A₁P⊥平面DMN.

Answer 1

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则D(0,0，0),A₁(2,0,?2),P(0,1,0),M(0,2,1),N(1,2,0).

∴向量=(0,1,0)-(2,0,2)=(-2,1,-2),

=(0,2,1)-(0,0,0)=(0,2,1),

DN=(1,2,0).

∴·=(-2,1,-2)·(0,2,1)=(-2)×0+1×2+(-2)×1=0,

·=(-2,1,-2)·(1,2,0)=(-2)×1+1×2+(-2)×0=0.

∴⊥, ⊥,?

即直线A₁P⊥DM,A₁P⊥DN.

又∵Dm∩DN=D,∴A₁P⊥平面DMN.