Question

【题目】已知函数（， ），且对任意，都有.

（Ⅰ）用含的表达式表示；

（Ⅱ）若存在两个极值点， ，且，求出的取值范围，并证明；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断零点的个数，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】试题分析：利用赋值法求出关系，求函数导数，要求函数有两个极值点，只需在内有两个实根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范围，再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数.

试题解析：（Ⅰ）根据题意：令，可得，

所以，

经验证，可得当时，对任意，都有，

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，

所以 ，

令，要使存在两个极值点， ，则须有有两个不相等的正数根，所以

或

解得或无解，所以的取值范围，可得，

由题意知 ，

令 ，则 ．

而当时， ，即，

所以在上单调递减，

所以

即时， ．

（Ⅲ）因为 ， ．

令得， ．

由（Ⅱ）知时， 的对称轴， ， ，所以.

又，可得，此时， 在上单调递减， 上单调递增， 上单调递减，所以 最多只有三个不同的零点．

又因为，所以在上递增，即时， 恒成立．

根据（2）可知且，所以，即，所以，使得．

由，得，又， ，

所以恰有三个不同的零点： ，1， ．

综上所述， 恰有三个不同的零点．