题目内容
在△ABC中，∠A=30°，D是边BC上任意一点（D与B，C不重合），且|
|2=|
|2+
•
，则∠B等于（ ）
| AB |
| AD |
| BD |
| DC |
分析：作 AO⊥BC，垂足为 O，以 BC 所在直线为 x 轴，以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系．设 A（0，a），B（b，0），C （c，0），D（d，0）．由|
|2=|
|2+
•
能导出△ABC 为等腰三角形，AB=AC，BD=CD，再由∠A=30°，能求出∠B．
| AB |
| AD |
| BD |
| DC |
解答：解：作 AO⊥BC，垂足为 O，
以 BC 所在直线为 x 轴，以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系．
设 A（0，a），B（b，0），C （c，0），D（d，0）．
∵|
|2=|
|2+
•
，
∴由距离公式可得 b2+a2=d2+a2+（d-b）（c-d），
即（b-d）（b+d）=（d-b）（d-c），
又b-d≠0，
两边除以b-d，
得 b+d=d-c，
即b=-c，
∴点B（b，0）和C（c，0）关于原点对称，
∴△ABC 为等腰三角形．
∴AB=AC，BD=CD，
∵∠A=30°，
∴∠B=90°-
×30°=75°．
故选D．
以 BC 所在直线为 x 轴，以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系．
设 A（0，a），B（b，0），C （c，0），D（d，0）．
∵|
| AB |
| AD |
| BD |
| DC |
∴由距离公式可得 b2+a2=d2+a2+（d-b）（c-d），
即（b-d）（b+d）=（d-b）（d-c），
又b-d≠0，
两边除以b-d，
得 b+d=d-c，
即b=-c，
∴点B（b，0）和C（c，0）关于原点对称，
∴△ABC 为等腰三角形．
∴AB=AC，BD=CD，
∵∠A=30°，
∴∠B=90°-
| 1 |
| 2 |
故选D．
点评：本题考查三角形的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意距离公式的灵活运用．
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