Question

19．在△ABC中，AC=5，$\frac{1}{tan\frac{A}{2}}$+$\frac{1}{tan\frac{C}{2}}$-$\frac{5}{tan\frac{B}{2}}$=0，则BC+AB=（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 作△ABC的内切圆，设O为圆心，r为半径，圆O与三边AB、BC、AC的切点依次为D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．则tan$\frac{B}{2}$=$\frac{r}{BD}$，tan$\frac{A}{2}$=$\frac{r}{AF}$，tan$\frac{C}{2}$=$\frac{r}{CF}$，再由已知条件求出AC=5BD，进一步求出BD的值，则BC+AB的答案可求．

解答 解：作△ABC的内切圆，设O为圆心，r为半径，圆O与三边AB、BC、AC的切点依次为D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．
则tan$\frac{B}{2}$=$\frac{r}{BD}$，tan$\frac{A}{2}$=$\frac{r}{AF}$，tan$\frac{C}{2}$=$\frac{r}{CF}$．
∵$\frac{1}{tan\frac{A}{2}}$+$\frac{1}{tan\frac{C}{2}}$-$\frac{5}{tan\frac{B}{2}}$=0，
∴$\frac{AF}{r}+\frac{CF}{r}=\frac{5BD}{r}$，
∴AF+CF=5BD，即AC=5BD，
又∵AC=5，
∴BD=1，
∴BE=BD=1，
∴BC+AB=（BE+CE）+（BD+AD）=（CE+AD）+（BE+BD）=AC+2BD=7．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，作出△ABC的内切圆是解本题的关键，属于中档题．