Question

如果函数f（x）=满足：对于任意的x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a²恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．[-]
B．[-]
C．（-]
D．（-]∪[）

Answer 1

【答案】分析：可通过导数求得f（x）=在x∈[0，2]上的最小值与最大值，从而可得a²≥|f（x）_最大值-f（x）_最小值|，a的取值范围可求得．
解答：解：∵f′（x）=x²-1，
∴当0＜x＜1，f′（x）＜0，
当1＜x＜2，f′（x）＞0，
∴f（x）=在x=1时取到极小值，也是x∈[0，2]上的最小值，即f（x）_极小值=f（1）=-=f（x）_最小值，
又f（0）=0，f（2）=，
∴在x∈[0，2]上，f（x）_最大值=f（2）=，
∵对于任意的x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a²恒成立，
∴只需a²≥|f（x）_最大值-f（x）_最小值|=-（-）=，
∴a≥或a≤-．
故选D．
点评：本题考查函数恒成立问题，关键在于理解题意，转化为求f（x）=在x∈[0，2]上的最小值与最大值，突出考查转化思想与分析解决问题的能力，属于难题．