Question

（本题满分14分）
已知椭圆的离心率为，直线过点，，且与椭圆相切于点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得
?若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由.

Answer 1

解: （Ⅰ）由题得过两点，直线的方程为.………… 1分
因为，所以，.
设椭圆方程为,
由消去得，.
又因为直线与椭圆相切,所以,解得.
所以椭圆方程为.    ……………………………………………… 5分
（Ⅱ）易知直线的斜率存在,设直线的方程为，…………………… 6分
由消去，整理得. ………… 7分
由题意知，
解得.  ……………………………………………………………… 8分
设，，则，.     …… 9分
又直线与椭圆相切，
由解得，所以. ……………………………10分
则. 所以.
又





所以，解得.经检验成立.  …………………… 13分
所以直线的方程为.  …………………………………… 14分
 

略