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求证：1＋2＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋1＝n2(n∈N*)

答案：数学归纳法
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21、设f（x）=x2+bx+c （b，c为常数），方程f（x）-x=0的两个实根为x1、x2且满足x1＞0，x2-x1＞1．
（1）求证：b2＞2（b+2c）；
（2）0＜t＜x1，比较f（t）与x1的大小；
（3）若当x∈[-1，1]时，对任意的x都有|f（x）|≤1，求证：|1+b|≤2．
已知有穷数列{an}只有2k项（整数k≥2），首项a1=2，设该数列的前n项和为Sn，且Sn=
an+1-2
a-1
(n=1，2，3，…，2k-1)，其中常数a＞1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若a=2
2
2k-1
，数列{bn}满足bn=log2an，（n=1，2，3，…，2k），Tn=
1
n
(b1+b2+b3+…+bn)，求证：1≤Tn≤2．
已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1=2，设该数列的前n项和为Sn，且Sn=
an+1-2
a-1
（n=1，2，3，…，2k-1），其中常数a＞1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若a=2
2
2k-1
，数列{bn}满足bn=
1
n
log2(a1a2…an)，（n=1，2，3，…，2k），求证：1≤bn≤2；
（3）若（2）中数列{bn}满足不等式：|b1-
3
2
|+|b2-
3
2
|+…+|b2k-1-
3
2
|+|b2k-
3
2
|≤4，求k的最大值．
已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．
（Ⅰ）当a=-
1
4
时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）求证：(1+
1
1×2
)(1+
1
2×3
)•…•[1+
1
n(n+1)
]＜e（n∈N*，e是自然对数的底数）．
提示：[ln(x+1)]′=
1
x+1
．
（2011•顺义区二模）对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：
函数h(x)=
f(x)•g(x)，当x∈M且x∈N
f(x)，当x∈M且x∉N
g(x)，当x∉M且x∈N

（1）若函数f(x)=
1
x+1
，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函数h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x2+2x+2，设bn为曲线y=h（x）在点（an，h（an））处切线的斜率；而{an}是等差数列，公差为1（n∈N*），点P1为直线l：2x-y+2=0与x轴的交点，点Pn的坐标为（an，bn）．求证：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．

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