Question

21、设f（x）=x²+bx+c （b，c为常数），方程f（x）-x=0的两个实根为x₁、x₂且满足x₁＞0，x₂-x₁＞1．
（1）求证：b²＞2（b+2c）；
（2）0＜t＜x₁，比较f（t）与x₁的大小；
（3）若当x∈[-1，1]时，对任意的x都有|f（x）|≤1，求证：|1+b|≤2．

Answer 1

分析：（1）由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）我们易将x₂-x₁＞1转化为系数的关系，从而得到b²＞2（b+2c）；
（2）由x₁为方程f（x）-x=0的根，我们得f（t）-x₁转化为f（t）-f（x₁）即（t-x₁）（t+1-x₁），进而根据x₁+x₂=1-b，我们易判断t+1-x₂与x₁+1-x₂与0的大小关系，由此可判断f（t）与x₁的大小；
（3）由x∈[-1，1]时，对任意的x都有|f（x）|≤1，我们令x=0，再结合绝对值不等式的性质，即可得到答案．

解答：（1）证明：方程f（x）-x=0的两根为x₁、x₂，
因而有（x₂-x₁）²=b²-2b+1-4c，又x₂-x₁＞1，
∴b²-2b+1-4c＞1，∴b²＞2（b+2c）．（5分）
（2）∵x₁是方程f（x）-x=0的根，∴x₁=f（x₁），
∴f（t）-x₁=f（t）-f（x₁）=（t-x₁）（t+x₁+b）
=（t-x₁）（t+1-x₁）．
∵x₁+x₂=1-b，0＜t＜x₁
∴t-x₁＜0，又x₂-x₁＞1，即x₁+1-x₂＜0，
∴t+1-x₂＜x₁+1-x₂＜0
故f（t）-x₁＞0，∴f（t）＞x₁（10分）
（3）证明：∵x∈[-1，1]时，恒有|f（x）|≤1，
∴f（0）=|c|≤1，
|f（1）|=|1+b+c|≤1，
从而|1+b|=|1+b+c-c|≤|1+b+c|+|-c|=|1+b+c|+|c|≤1+1=2．（14分）

点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，不等式的证明，其中利用方程、函数、不等式之间的关系，将方程问题转化为函数问题的转化思想是解答此类问题的关键．