Question

【题目】如图，在直棱柱

（I）证明：；

（II）求直线所成角的正弦值。

Answer 1

【答案】（I）见解析（II）

【解析】

试题（I）根据直棱柱性质，得⊥平面ABCD，从而AC⊥，结合∩BD=B，证出AC⊥平面，从而得到；（II）根据题意得AD∥，可得直线与平面所成的角即为直线AD与平面所成的角．连接，利用线面垂直的性质与判定证出⊥平面，从而可得．由AC⊥，可得⊥平面，从而得到与AD与平面所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△中算出，可得，由此即可得出直线与平面所成的角的正弦值

试题解析：（1）因为平面，所以,因为故面，所以；

（2）以A为原点，AB所在边为x轴，AD所在边为y轴，AA1所在边为z轴建立空间直角坐标系，则，所以，；

因为，，所以，

因为，所以，

故，所以，

设为的法向量，

则，令，

所以为的一个法向量；

因为，，所以

所以直线所成角的正弦值.